Aplicaciones de funciones

 

EJERCICIO 1. Ingreso por venta de tomates (función cuadrática)

Dada $I(q)=-0.2q^{2}+5q$:

a) Gráfica y dominio
Económicamente $q\ge 0$ (no se pueden llevar tomates negativos). La parábola abre hacia abajo, corta al eje $I$ en $I(0)=0$ y al eje $q$ también en $q=25$. El vértice está en $q=12.5$. Te dejé la gráfica en el panel (tracé $q\in[0,25]$).

b) Variables

• Independiente: $q$ = cantidad de tomates (unidades, kg, cajas, según el contexto).

• Dependiente: $I$ = ingreso (moneda).

c) Cantidad que maximiza el ingreso
Como es una parábola cóncava, el máximo está en el vértice:

$$q^*=-\frac{b}{2a}=-\frac{5}{2(-0.2)}=12.5.$$

Ingreso máximo:

$$I(q^*)=-0.2(12.5)^2+5(12.5)=-31.25+62.5=31.25.$$

d) Interpretación económica del máximo ingreso
Llevar $q^*=12.5$ (unidades/ kg/ cajas) al mercado maximiza el ingreso en $I_{\max}=31.25$ (en las unidades monetarias del problema). Para cantidades menores, conviene llevar más; para cantidades mayores, el ingreso cae (por ejemplo, porque el precio efectivo baja con la cantidad ofertada).

Puntos clave: raíces $q=0$ y $q=25$; vértice $(12.5,\;31.25)$; derivada $I'(q)=-0.4q+5$ se anula en $q=12.5$, confirmando el máximo.

 

EJERCICIO 2. Volumen de agua en un tanque

Veamos el problema y cómo responder cada punto:

La función es $V(t) = 200 t$, donde el tanque se llena a razón de 200 litros por minuto.

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a) Representa la gráfica de la función

• Es una recta que pasa por el origen $(t = 0, V = 0)$.

• Tiene pendiente positiva constante: por cada minuto que pasa, el volumen aumenta en 200 litros.

• Si graficas $t$ en el eje horizontal (minutos) y $V$ en el eje vertical (litros), la línea sube con pendiente 200.

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b) Variables independiente y dependiente

• Independiente: $t$ = tiempo (minutos)

• Dependiente: $V$ = volumen de agua en el tanque (litros)

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c) Dominio de $t$ si la capacidad máxima del tanque es 4000 litros

Queremos los valores de $t$ para los cuales $V(t)$ no exceda los 4000 litros, porque después de eso el tanque ya no puede llenarse más.

$$V(t) = 200 t \le 4000 \implies t \le \frac{4000}{200} = 20 \text{ minutos}$$

Además, el tiempo no puede ser negativo, así que:

$$t \in [0,\;20] \text{ minutos}$$

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d) ¿Qué sucede con la gráfica después de alcanzar la capacidad máxima?

• Una vez que se llega al punto $t = 20$, $V(20)=4000$ litros, el tanque está lleno.

• Después de ese instante, el tanque no puede almacenar más agua, así que el volumen se mantiene constante en 4000 litros si el llenado continúa.

• En la gráfica esto significa que la línea dejará de subir y se vuelve horizontal (una recta constante) a partir de $t=20$.

• En la práctica, o bien se cierra la válvula de llenado, o el exceso de agua se derrama o se pierde, dependiendo del sistema.

Ejercicio 3. Rendimiento segun fertilizante (funcion cuadratica)

a) Gráfica
Mostré $R(x)=-0.05x^2+2x+50$ para $x\in[0,60]$. Se ve una parábola que abre hacia abajo con máximo en el vértice.

b) Variables

• Independiente: $x$ = cantidad de fertilizante (unidades).

• Dependiente: $R$ = rendimiento (t/ha).

c) ¿Hay un $x$ que maximiza el rendimiento? ¿Cuál es?
Sí. Para una cuadrática $ax^2+bx+c$ el máximo (si $a<0$) está en $x^*=-\frac{b}{2a}$. Con $a=-0.05$ y $b=2$:

$$x^*=-\frac{2}{2(-0.05)}=20.$$

El rendimiento máximo es $R(20)=-0.05(20)^2+2(20)+50=70$ t/ha. (Vértice de una parábola y fórmula $-b/2a$. Study.com)

d) Interpretación del máximo en el contexto agrícola
El modelo representa una respuesta cuadrática al fertilizante: el rendimiento aumenta al principio, luego aparecen rendimientos decrecientes y, si se aplica demasiado, el rendimiento puede caer (por estrés/efectos negativos). El $x^*=20$ es la dosis que maximiza el rendimiento físico bajo este modelo (sin considerar costos). Estas curvas cuadráticas o con meseta son herramientas estándar en agronomía para estudiar respuesta a N y otros nutrientes. cs.montana.edu+1

Notas de la gráfica:

• $R(0)=50$ t/ha (intercepto).

• Máximo en $(20,\;70)$.

• La raíz positiva donde $R\approx 0$ es $x\approx 57.42$; más allá, el modelo predice rendimientos negativos (no realistas), por lo que el dominio práctico suele tomarse como $x\ge 0$ y, si se desea, restringido a donde $R\ge 0$ ($x\lesssim 57.4$). (Concepto general de respuesta cuadrática y dominio práctico en curvas de respuesta a fertilizante.